【题目】已知分别是直线
和
上的两个动点,线段
的长为
,
是
的中点.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)若过点(1,0)的直线与曲线
交于不同两点
.
①当时,求直线
的方程;
②试问在轴上是否存在点
,使
恒为定值?若存在,求出
点的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)①
或
;②存在,点
,
.
【解析】
试题分析:(1)本问考查求轨迹方程的直接法,即根据题中已知条件,转化为关于定点的坐标表示,首先设点,
,
,根据中点坐标公式有
,
,再根据两点间距离公式表示出线段
的长度,于是可以整理得到关于点
的方程,即为所求轨迹
;(2)①本问主要考查直线与圆相交,有关弦长问题,可以根据垂径定理进行求解,注意对直线
的斜率是否存在进行讨论;②本问主要考查解析几何中直线与圆的问题,首先假设存在点
使得
为定值,把直线方程与圆的方程联立,消去未知数
,得到关于
的一元二次方程,设点
,
,表示出
,
的值,然后将
用坐标表示出来,得到关于
的表达式,若
为定值,则分母应为分子的倍数,可以采用待定系数法求解.
试题解析:(1)设点,
,
,则
,
,
又根据题意①,
②,且
,
所以由①②得:,所以
,即
,
所以动点的轨迹
的方程为:
;
(2)①当直线的斜率不存在时,直线
的方程为
,经计算,此时
,不符合题意;
当直线的斜率存在时,设方程为
,圆心到直线
的距离
,
根据垂径定理有:
,
解得,所以
,
所以直线的方程为
或
;
②假设存在点使得
为定值,
当直线的斜率存在时,设方程为
,
由消去
得:
,
易知成立,设点
,
,则
,
,
若为定值,则必有
,解得
,点
,
所以,
当直线斜率不存在时,方程为
,此时
,
,此时
,
综上所述,当点时,
为定值
.
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【题目】已知函数的图像是由函数
的图像经如下变换得到:先将
图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移
个单位长度.
(Ⅰ)求函数的解析式,并求其图像的对称轴方程;
(Ⅱ)已知关于的方程
在
内有两个不同的解
.
(1)求实数m的取值范围;
(2)证明:
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【题目】已知三次函数,下列命题正确的是 .
①函数关于原点
中心对称;
②以,
两不同的点为切点作两条互相平行的切线,分别与
交于
两点,则这四个点的横坐标满足关系
;
③以为切点,作切线与
图像交于点
,再以点
为切点作直线与
图像交于点
,再以点
作切点作直线与
图像交于点
,则
点横坐标为
;
④若,函数
图像上存在四点
,使得以它们为顶点的四边形有且仅有一个正方形.
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【题目】国庆假期是实施免收小型客车高速通行费的重大节假日,有一个群名为“天狼星”的自驾游车队,该车队是由31辆身长约为(以
计算)的同一车型组成,行程中经过一个长为2725
的隧道(通过隧道的车速不超过
),匀速通过该隧道,设车队的速度为
,根据安全和车流的需要,当
时,相邻两车之间保持
的距离;当
时,相邻两车之间保持
的距离,自第一辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间
.
(1)将表示成为
的函数;
(2)求该车队通过隧道时间的最小值及此时车队的速度.
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【题目】已知函数(
为常数,
),且数列
是首项为2,公差为2的等差数列.
(1)若,当
时,求数列
的前
项和
;
(2)设,如果
中的每一项恒小于它后面的项,求
的取值范围.
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【题目】已知圆心在轴正半轴上的圆
与直线
相切,与
轴交于
两点,且
.
(1)求圆的标准方程;
(2)过点的直线
与圆
交于不同的两点
,若设点
为
的重心,当
的面积为
时,求直线
的方程.
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