【题目】已知三次函数,下列命题正确的是 .
①函数关于原点
中心对称;
②以,
两不同的点为切点作两条互相平行的切线,分别与
交于
两点,则这四个点的横坐标满足关系
;
③以为切点,作切线与
图像交于点
,再以点
为切点作直线与
图像交于点
,再以点
作切点作直线与
图像交于点
,则
点横坐标为
;
④若,函数
图像上存在四点
,使得以它们为顶点的四边形有且仅有一个正方形.
【答案】①②④
【解析】
试题分析:①函数满足是奇函数,所以关于原点(0,0)成中心对称,正确;②因为
,根据切线平行,得到
,所以
,根据①可知,
,以点A为切点的切线方程为
,整理得:
,该切线方程与函数
联立可得,
,所以
,同理:
,又因为
,代入关系式可得
,正确;③由②可知,以
为切点,作切线与
图像交于点
,再以点
为切点作直线与
图像交于点
,再以点
作切点作直线与
图像交于点
,此时满足
,
,
, 所以
,所以③错误;④当函数为
,设正方形ABCD的对角线AC所在的直线方程为
,设正方形ABCD的对角线BD所在的直线方程为
,
,解得:
,所以
,
同理:,因为
所以
,设
,即
,
,当
时,
,等价于
,解得
,
或
,
,所以正方形唯一确定,故正确选项为①②④.
【难点点睛】本题的难点是②和④,计算量都比较大,②的难点是过点A的切线方程与函数方程联立,得到交点C的坐标,这个求交点的过程需要计算能力比较好才可以求解出结果;④的难点是需根据正方形的几何关系,转化为代数运算,这种化归与转化会让很多同学感觉无从下手,同时运算量也比较大,稍有疏忽,就会出错,所以平时训练时,带参数的化简需所练习.
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【题目】如图,设点F1(-c,0)、F2(c,0)分别是椭圆C:的左、右焦点,P为椭圆C上任意一点,且
最小值为0.
⑴求椭圆C的方程;
⑵若动直线l1,l2均与椭圆C相切,且l1∥l2,试探究在x轴上是否存在定点B,点B到l1,l2的距离之积恒为1?若存在,请求出B坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】为了解某校学生的视力情况,现采用随机抽样的方式从该校的两班中各抽5名学生进行视力检测,检测的数据如下:
班5名学生的视力检测结果是:
.
班5名学生的视力检测结果是:
.
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪个班的学生视力较好?并计算班的5名学生视力的方差;
(2)现从班上述5名学生中随机选取2名,求这2名学生中至少有1名学生的视力低于
的概率.
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【题目】现有6名奥运会志愿者,其中志愿者通晓日语,
通晓俄语,
通晓韩语,从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组.
(1)求被选中的概率;
(2)求和
不全被选中的概率;
(3)若6名奥运会志愿者每小时派两人值班,现有两名只会日语的运动员到来,求恰好遇到的概率.
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【题目】已知分别是直线
和
上的两个动点,线段
的长为
,
是
的中点.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)若过点(1,0)的直线与曲线
交于不同两点
.
①当时,求直线
的方程;
②试问在轴上是否存在点
,使
恒为定值?若存在,求出
点的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知圆,点
是直线
上的一动点,过点
作圆
的切线
,切点为
.
(1)当切线的长度为
时,求点
的坐标;
(2) 若的外接圆为圆
,试问:当
在直线
上运动时,圆
是否过定点?若存在,求出所有的定点的坐标;若不存在,说明理由.
(3)求线段长度的最小值.
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【题目】已知函数(
为常数,
是自然对数的底数),曲线
在点
处的切线与
轴平行.
(1)求的值;
(2)求的单调区间;
(3)设,其中
为
的导函数.证明:对任意
,
.
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