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已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lg an-1(n≥2,n∈N)且f(1)=-lg a,是否存在实数α,β,使f(n)=(αn2+βn-1)·lg a对任何n∈N*都成立,证明你的结论

∵f(n)=f(n-1)+lg an1
令n=2,则f(2)=f(1)+lg a=-lg a+lg a=0.
又f(1)=-lg a,
∴,∴.
∴f(n)=lg a.
现证明如下:(1)当n=1时,显然成立.
(2)假设n=k(k∈N*,且k≥1)时成立,
即f(k)=lg a,
则n=k+1时,
f(k+1)=f(k)+lg ak=f(k)+klg a
=lg a
=lg a.
则当n=k+1时,等式成立.
综合(1)(2)可知,存在实数α、β且α=,β=-,使
f(n)=(αn2+βn-1)lg a对任意n∈N都成立

解析

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本题满分12分)已知函数
(1)求函数的定义域;
(2)求函数的零点;
(3)若函数的最小值为-4,求a的值。

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)+f(2a-x)=2b,则称函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
(1)已知函数f(x)=的图象关于点(0,1)对称,求实数m的值;
(2)已知函数g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称,且当x∈(0,+∞)时,g(x)=x2+ax+1,求函数g(x)在(-∞,0)上的解析式;
(3)在(1)(2)的条件下,当t>0时,若对任意实数x∈(-∞,0),恒有g(x)<f(t)成立,求实数a的取值范围.

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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a<0)不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)的最大值为正数,求实数a的取值范围.

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定义:已知函数在[m,n](m<n)上的最小值为t,若t≤m恒成立,则称函数在[m,n] (m<n)上具有“DK”性质.
(1)判断函数在[1,2]上是否具有“DK”性质,说明理由;
(2)若在[a,a+1]上具有“DK”性质,求a的取值范围.

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设函数
(Ⅰ)若函数处取得极小值是,求的值;  
(Ⅱ)求函数的单调递增区间;
(Ⅲ)若函数上有且只有一个极值点, 求实数的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

函数的定义域为(0,1](为实数).
⑴当时,求函数的值域;
⑵若函数在定义域上是减函数,求的取值范围;
⑶求函数在x∈(0,1]上的最大值及最小值,并求出函数取最值时的值

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分16分)
R,m,n都是不为1的正数,函数
(1)若m,n满足,请判断函数是否具有奇偶性. 如果具有,求出相
应的t的值;如果不具有,请说明理由;
(2)若,且,请判断函数的图象是否具有对称性. 如果具
有,请求出对称轴方程或对称中心坐标;若不具有,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数在闭区间上的最大值记为
(1)请写出的表达式并画出的草图;
(2)若, 恒成立,求的取值范围.

 
  
 

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