Question

设F₁、F₂分别是椭圆＋y²＝1的左、右焦点．

(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且＝－，求点P的坐标；

(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

解：(1)a＝2，b＝1，c＝.∴F₁(－，0)，F₂(，0)．

设P(x，y)(x>0，y>0)．则＝(－－x，－y)(－x，－y)＝x²＋y²－3＝－，又＋y²＝1，

联立，解得

(2)显然x＝0不满足题设条件．可设l的方程为y＝kx＋2，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

联立⇒x²＋4(kx＋2)²＝4

⇒(1＋4k²)x²＋16kx＋12＝0

∴x₁x₂＝，x₁＋x₂＝－

由Δ＝(16k)²－4·(1＋4k²)·12>0

16k²－3(1＋4k²)>0,4k²－3>0，得k²>.①

又∠AOB为锐角⇔cos∠AOB>0⇔·>0，

∴·＝x₁x₂＋y₁y₂>0

又y₁y₂＝(kx₁＋2)(kx₂＋2)＝k²x₁x₂＋2k(x₁＋x₂)＋4

∴x₁x₂＋y₁y₂＝(1＋k²)x₁x₂＋2k(x₁＋x₂)＋4

综合①②可知<k²<4，∴k的取值范围是.