Question

设数列{a_2n-1}是首项为1的等差数列，数列{a_2n}是首项为2的等比数列，数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），已知S₃=a₄，a₃+a₅=a₄+2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）比较S_2n与2ⁿ+n²的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由已知条件得

4+d=2q (1+d)+(1+2d)=2+2q

，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）当n=1时，S_2n=2ⁿ+n²．当n≥2时，S2n=

(1+2n-1)n

2

+

2(1-3n)

1-3

＞2ⁿ+n²．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则a₁=1，a₂=2，a₃=1+d，a₄=2q，a₅=1+2d，
∵S₃=a₄，a₃+a₅=a₄+2．
∴

4+d=2q (1+d)+(1+2d)=2+2q

，
解得d=2，q=3，
∴an=

n，n=2k-1 2•3 n 2 -1，n=2k

．
（Ⅱ）当n=1时，S_2n=2ⁿ+n²．
当n≥2时，
S2n=

(1+2n-1)n

2

+

2(1-3n)

1-3

=n²-1+3ⁿ=n²-1+（1+2）ⁿ＞n²-1+2ⁿ+1＞2ⁿ+n²．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查S_2n与2ⁿ+n²的大小的比较，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．