Question

已知f（k）=

1+k2

4k

，当k＞0时，f（k）≥

1

x2-2tx-2

对?t∈[-1，1]恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：先根据基本不等式求出f（k）的最小值，再把所求问题转化为g（t）=-2xt+x²-4≥0对任意的t∈[-1，1]恒成立，最后结合一次函数的知识即可得到实数x的取值范围．

解答： 解：当k＞0时f（k）=

1

4

（k+

1

k

）≥

1

4

•2

k• 1 k

=

1

2

（当且当k=1时等号成立）
∴当k＞0时，f（k）≥

1

x2-2tx-2

对?t∈[-1，1]恒成立，即

1

2

≥

1

x2-2tx-2

对?t∈[-1，1]恒成立，
亦即x²-2tx-4≥0对任意的t∈[-1，1]恒成立
令g（t）=-2xt+x²-4，
∴g（t）=-2xt+x²-4≥0对任意的t∈[-1，1]恒成立
由一次函数的性质可得g（-1）≥0，g（1）≥0，
∴2x+x²-4≥0，-2x+x²-4≥0
∴实数的取值范围为x≤-（1+

5

）或x≥1+

5

．

点评：本题考查等价转化思想，以及恒成立问题和基本不等式的运用．是对知识的综合考查，属于中档题目．