Question

已知函数f（x）=-3x²+6x，直线l₁：x=t，l₂：x=t+1（其中0≤t≤2，t为常数），若直线l₁，l₂，x轴与曲线y=f（x）所围成的封闭图形的面积为S（t）．
（1）求S（t）的表达式；
（2）当t变化时，求S（t）的最大值．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）利用定积分，可求直线l₁，l₂，x轴与曲线y=f（x）所围成的封闭图形的面积S（t）的表达式；
（2）利用配方法，可求S（t）的最大值．

解答： 解：（1）S（t）=

∫

t+1 t

（-3x²+6x）dx=（-x³+3x²）

|

t+1 t

=-3t²+3t+2（0≤t≤2，t为常数）；
（2）S（t）=-3（t-

1

2

）²+

5

4

，
∵0≤t≤2，
∴t=

1

2

时，S（t）的最大值为

5

4

．

点评：本题考查定积分在求面积中的应用，考查配方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．