Question

【题目】如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，Q为底面圆周上一点.

(1)若QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；

(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝2，求此圆锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（Ⅱ）连接OC、AQ，由三角形中位线定理可得OC∥AQ，由圆周角定理我们可得OC⊥BQ，由圆锥的几何特征，可得SO⊥BQ，进而由线面垂直的判定定理，得到QB⊥平面SOC，则OH⊥BQ，结合OH⊥SC及线面垂直的判定定理得到OH⊥平面SBQ；（Ⅱ）若∠AOQ=60°，易得∠OBQ=∠OQB=30°，又由我们求出圆锥的底面半径OA长及圆锥的高SO，即可得到圆锥的体积及表面积．

试题解析：（1）连接OC，∵SQ＝SB，OQ＝OB，QC＝CB，

∴QB⊥SC，QB⊥OC，∴QB⊥平面SOC．

∵OH平面SOC，∴QB⊥OH，

又∵OH⊥SC，∴OH⊥平面SQB．

（2）连接AQ．∵Q为底面圆周上的一点，AB为直径，

∴AQ⊥QB．

在Rt△AQB中，∠QBA＝30°，QB＝2，

∴AB=＝4．

∵△SAB是等腰直角三角形，∴SO＝AB＝2，

∴V圆锥＝π·OA2·SO＝．

S侧=．