Question

【题目】交大设计学院植物园准备用一块边长为4百米的等边ΔABC田地(如图)建立芳香植物生长区、植物精油提炼处与植物精油体验点.田地内拟建笔直小路MN、AP,其中M、N分别为AC、BC的中点,点P在CN上.规划在小路MN和AP的交点O(O与M、N不重合)处设立植物精油体验点,图中阴影部分为植物精油提炼处,空白部分为芳香植物生长区,A、N为出入口(小路宽度不计).为节约资金,小路MO段与OP段建便道,供芳香植物培育之用,费用忽略不计,为车辆安全出入,小路AO段的建造费用为每百米4万元,小路ON段的建造费用为每百米3万元.

(1)若拟建的小路AO段长为百米,求小路ON段的建造费用；

(2)设∠BAP=,求的值,使得小路AO段与ON段的建造总费用最小,并求岀最小建造总费用(精确到元).

Answer 1

【答案】(1) 小路ON段的建造费用为3万元.

(2) 当时，小路AO段与ON段的建造总费用最小，最小费用约为元.

【解析】

(1) 在△ 中，，，∠，利用余弦定理可求解长度，结合即可求解；

（2）在△ 中，，∠，，，利用正弦定理可求,结合,可建立关于的函数，利用导数即可判断最值.

(1)由为中点,得 ,在△ 中,∠,由余弦定理可得,,解得或-3(舍去),又,所以,故小路ON段的建造费用为3万元.

（2）在△ 中,∠，,由正弦定理可得，，即， ，故小路AO段与ON段的建造总费用为

，

则，令，得，，令，得，，故当时，小路AO段与ON段的建造总费用最小，由，得，故最小费用为元.