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【题目】设函数.

1)求函数的单调区间和极值;

2)若函数在区间上存在唯一零点,求a的取值范围.

【答案】1)详见解析;(2.

【解析】

1)分别在两种情况下根据导函数的正负得到单调性,根据极值的定义可求得对应的极值;

2)当时,分别在上存在唯一零点和为零点两种情况下,结合零点存在定理得到的范围;当时,结合函数的单调性,可知,通过讨论的位置确定对应端点值的符号,从而得到不等式组,解不等式组求得结果;综合两种情况可得最终结果.

1)由题意得:.

①当时,恒成立,上单调递增,此时无极值;

②当时,令,解得:

时,;当时,

上单调递减,在上单调递增,

处取得极小值,极小值为,无极大值.

综上所述:当时,的单调递增区间为,无单调递减区间,无极值;

时,的单调递减区间为,单调递增区间为,极小值为,无极大值.

2)①当时,由(1)知,上单调递增,

上存在唯一零点,则,即

解得:.

上的唯一零点,则,解得:(舍).

②当时,由(1)知,上单调递减,在上单调递增,

.

上存在唯一零点,则

解得:.

综上所述:的取值范围为.

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