【题目】设函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)若函数在区间上存在唯一零点,求a的取值范围.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)分别在和两种情况下根据导函数的正负得到单调性,根据极值的定义可求得对应的极值;
(2)当时,分别在上存在唯一零点和为零点两种情况下,结合零点存在定理得到的范围;当时,结合函数的单调性,可知,通过讨论的位置确定对应端点值的符号,从而得到不等式组,解不等式组求得结果;综合两种情况可得最终结果.
(1)由题意得:.
①当时,恒成立,在上单调递增,此时无极值;
②当时,令,解得:,
当时,;当时,,
在上单调递减,在上单调递增,
在处取得极小值,极小值为,无极大值.
综上所述:当时,的单调递增区间为,无单调递减区间,无极值;
当时,的单调递减区间为,单调递增区间为,极小值为,无极大值.
(2)①当时,由(1)知,在上单调递增,
若在上存在唯一零点,则,即,
解得:.
若是在上的唯一零点,则,解得:(舍).
②当时,由(1)知,在上单调递减,在上单调递增,
.
,
若在上存在唯一零点,则或或,
解得:.
综上所述:的取值范围为.
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【题目】我省某校要进行一次月考,一般考生必须考5门学科,其中语、数、英、综合这四科是必考科目,另外一门在物理、化学、政治、历史、生物、地理、英语2中选择.为节省时间,决定每天上午考两门,下午考一门学科,三天半考完.
(1)若语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场考试,则“考试日程安排表”有多少种不同的安排方法;
(2)如果各科考试顺序不受限制;求数学、化学在同一天考的概率是多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数是定义在R上的偶函数,且当时,().
(1)当时,求的表达式:
(2)求在区间的最大值的表达式;
(3)当时,若关于x的方程(a,)恰有10个不同实数解,求a的取值范围.
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【题目】交大设计学院植物园准备用一块边长为4百米的等边ΔABC田地(如图)建立芳香植物生长区、植物精油提炼处与植物精油体验点.田地内拟建笔直小路MN、AP,其中M、N分别为AC、BC的中点,点P在CN上.规划在小路MN和AP的交点O(O与M、N不重合)处设立植物精油体验点,图中阴影部分为植物精油提炼处,空白部分为芳香植物生长区,A、N为出入口(小路宽度不计).为节约资金,小路MO段与OP段建便道,供芳香植物培育之用,费用忽略不计,为车辆安全出入,小路AO段的建造费用为每百米4万元,小路ON段的建造费用为每百米3万元.
(1)若拟建的小路AO段长为百米,求小路ON段的建造费用;
(2)设∠BAP=,求的值,使得小路AO段与ON段的建造总费用最小,并求岀最小建造总费用(精确到元).
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