Question

【题目】已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，（）.

（1）当时，求的表达式：

（2）求在区间的最大值的表达式；

（3）当时，若关于x的方程（a，）恰有10个不同实数解，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据偶函数的特点，可知，可得结果.

（2）采用分类讨论方法，与，去掉绝对值研究函数在区间上的单调性，可得结果.

（3）画出函数图像，利用换元法，得出与，可转化为两个根为，可得，最后计算可得结果.

（1）令，则

由当时，

所以

又函数是定义在R上的偶函数，

即

所以

所以当时，

（2）当时，

如图

可知函数的最大值在或处取得，

所以，

①若，此时

②若，此时；

当时，，对称轴为

③若，即时，则，

④若，即时，则

综上，得

（3）当时，

如图

令

由的图象可知，

当时，方程有两解；

当时，方程有四解；

当时，方程有六解；

当时，方程有三解；

当时，方程无解.

要使方程（a，）

恰有10个不同实数解，

则关于t的方程的一个根为1，

另一个根，设，则有

则

所以a的取值范围为.