Question

9．已知函数f（x）=aln（x+1）-x²，f′（x）为函数f（x）的导函数，若f′（x）＞1在区间（1，2）内恒成立，则实数a的取值范围为[15，+∞）．

Answer 1

分析 先求导，f′（x）＞1在区间（1，2）内恒成立转化为a＞2x²+3x+1=2（x+$\frac{3}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，在区间（1，2）内恒成立，根据二次函数的性质即可求出答案．

解答 解：∵f（x）=aln（x+1）-x²，
∴f′（x）=$\frac{a}{x+1}$-2x，
∵f′（x）＞1在区间（1，2）内恒成立，
∴$\frac{a}{x+1}$-2x＞1在区间（1，2）内恒成立，
∴a＞2x²+3x+1=2（x+$\frac{3}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，在区间（1，2）内恒成立，
设g（x）=2x²+3x+1=2（x+$\frac{3}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，
∴g（x）在（1，2）上单调递增，
∴g（x）_max=g（2）=2×4+3×2+1=15，
∴a≥15，
故a的取值范围为[15，+∞），
故答案为：[15，+∞）

点评 本题重点考查导数的应用，注意分离参数在求解中的灵活运用，属于中档题．