Question

4．已知圆O：x²+y²=4，直线x-3y+10=0上有-动点P，过点P作圆O的一条切线．切点为A，则$\overrightarrow{PO}$$•\overrightarrow{PA}$的最小值为6．

Answer 1

分析 要使$\overrightarrow{PO}$$•\overrightarrow{PA}$最小，只有P与O最近，故此时OP和直线x-3y+10=0垂直．求出此时点P的坐标，可得OP、PA的值，再利用两个向量的数量积的定义求得$\overrightarrow{PO}$$•\overrightarrow{PA}$的最小值．

解答 解：由题意可得，要使$\overrightarrow{PO}$$•\overrightarrow{PA}$最小，只有P与O最近，
故此时OP和直线x-3y+10=0垂直．
设点P（3b-10，b），则有$\frac{b-0}{3b-10-0}$×$\frac{1}{3}$=-1，
求得b=3，
∴点P（-1，3），
∴OP=$\sqrt{10}$，切线PA=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{10-4}$=$\sqrt{6}$，
cos∠OPA=$\frac{PA}{PO}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$，
∴$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PA}$=$\sqrt{10}$×$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$=6．
故答案为：6．

点评 本题主要考查直线和圆相切的性质，两个向量的数量积的定义，两条直线垂直的性质，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．