Question

16．设G是△ABC的重心，点E是AG的中点，若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{CA}$=4，$\overrightarrow{BG}$•$\overrightarrow{CG}$=-1，则$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CE}$的值是（　　）

• A． -$\frac{7}{8}$
• B． $\frac{5}{8}$
• C． $\frac{7}{8}$
• D． $\frac{13}{8}$

Answer 1

分析 延长AG交BC于D，得出点G、E是AD的三等分点，D是BC的中点；用$\overrightarrow{DG}$、$\overrightarrow{BD}$表示出$\overrightarrow{BA}$、$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{BG}$和$\overrightarrow{CG}$，根据数量积的定义列出方程组求出${\overrightarrow{DG}}^{2}$和${\overrightarrow{BD}}^{2}$的值，再计算$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CE}$的值．

解答 解：延长AG交BC于D，如图所示，

G是△ABC的重心，点E是AG的中点，
∴$\overrightarrow{DG}$=$\overrightarrow{GE}$=$\overrightarrow{EA}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{CD}$；
∴$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{BD}$+3$\overrightarrow{DG}$，
$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DA}$=-$\overrightarrow{BD}$+3$\overrightarrow{DG}$，
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{CA}$=（$\overrightarrow{BD}$+3$\overrightarrow{DG}$）•（-$\overrightarrow{BD}$+3$\overrightarrow{DG}$）=9${\overrightarrow{DG}}^{2}$-${\overrightarrow{BD}}^{2}$=4①，
又$\overrightarrow{BG}$=$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DG}$，
$\overrightarrow{CG}$=$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DG}$=-$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DG}$，
∴$\overrightarrow{BG}$•$\overrightarrow{CG}$=（$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DG}$）•（-$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DG}$）=${\overrightarrow{DG}}^{2}$-${\overrightarrow{BD}}^{2}$=-1②，
由①②组成方程组，解得${\overrightarrow{DG}}^{2}$=$\frac{5}{8}$，${\overrightarrow{BD}}^{2}$=$\frac{13}{8}$；
∴$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CE}$=（$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DE}$）•（$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DE}$）
=（$\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{DG}$）•（-$\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{DG}$）
=4${\overrightarrow{DG}}^{2}$-${\overrightarrow{BD}}^{2}$
=4×$\frac{5}{8}$-$\frac{13}{8}$=$\frac{7}{8}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算和线性运算问题，也考查了数形结合的应用思想，是中档题．