Question

15．若$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}），sin2θ=\frac{1}{16}$，则cosθ-sinθ的值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{4}$
• B． $-\frac{{\sqrt{15}}}{4}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $-\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由条件利用诱导公式、二倍角公式求得cos（θ+$\frac{π}{4}$）的值，再利用两角和差的正弦公式，求得要求式子的值．

解答 解：若$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}），sin2θ=\frac{1}{16}$=-cos（2θ+$\frac{π}{2}$），
∴cos（2θ+$\frac{π}{2}$）=2${cos}^{2}（θ+\frac{π}{4}）$-1=-$\frac{1}{16}$，∴${cos}^{2}（θ+\frac{π}{4}）$=$\frac{15}{32}$．
∵θ+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），∴cos（θ+$\frac{π}{4}$）＜0，∴cos（θ+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{30}}{8}$，
则cosθ-sinθ=$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$•（-$\frac{\sqrt{30}}{8}$）=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
故选：B．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．