Question

已知实数x，y满足

x≥1 y≥1 x+y≤5

时，z=

x

a

+

y

b

 （a≥b＞0）的最大值为1，则a+b的最小值为（　　）

• A、7
• B、8
• C、9
• D、10

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的最大值，确定最优解，然后利用基本不等式进行判断．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=

x

a

+

y

b

 （a≥b＞0）得y=-

b

a

x+bz，
则斜率k=-

b

a

∈[-1，0)，
则由图象可知当直线y=-

b

a

x+bz经过点B（1，4）时，
直线y=-

b

a

x+bz的截距最大，
此时

1

a

+

4

b

=1，
则a+b=（a+b）（

1

a

+

4

b

）=1+4+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a • 4a b

=5+4=9，
当且仅当

b

a

=

4a

b

，即b=2a取等号此时不成立，故基本不等式不成立．
设t=

b

a

，
∵a≥b＞0，
∴0＜

b

a

≤1，即0＜t≤1，
则1+4+

b

a

+

4a

b

=5+t+

4

t

在（0，1]上单调递减，
∴当t=1时，
1+4+

b

a

+

4a

b

=5+t+

4

t

取得最小值为
5+1+4=10．
即a+b的最小值为10，
故选：D．

点评：本题主要考查线性规划和基本不等式的应用，先利用条件确定最优解是解决本题的关键，本题使用基本不等式时，条件不成立，利用t+

4

t

的单调性是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．