Question

17．设{a_n}为等差数列，S_n是其前n项和，已知S₇=7，S₁₅=75，T_n为数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n项和，
（1）求a₁和d；
（2）求T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：根据等差数列前n项和的性质可知：S₇=7a₄=7，S₁₅=15a₈=75，求得a₄=1，a₈=5，由d=$\frac{{a}_{8}-{a}_{4}}{8-4}$=1，a₄=a₁+（4-1）d=1，即可求得a₁的值；
（2）由（1）可知：S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}×d$=$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{5n}{2}$，则$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$n-$\frac{5}{2}$，当n=1时，$\frac{{S}_{1}}{1}$=-2，数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以-2为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，根据等差数列前n项和公式即可求得T_n．

解答 解：（1）设等差数列的公差为d，
由等差数列的性质可知：S₇=7a₄=7，S₁₅=15a₈=75，
则a₄=1，a₈=5，
∴d=$\frac{{a}_{8}-{a}_{4}}{8-4}$=1，
由a₄=a₁+（4-1）d=1，
∴a₁=-2，
∴a₁为-2，d=1；
（2）由（1）可知：等差数列{a_n}前n项和S_n，S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}×d$=$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{5n}{2}$，
$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$n-$\frac{5}{2}$，
当n=1时，$\frac{{S}_{1}}{1}$=-2，
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以-2为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
∴T_n=$\frac{（-2+\frac{1}{2}n-\frac{5}{2}）n}{2}$=$\frac{1}{4}{n}^{2}-\frac{9}{4}n$，
数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{4}{n}^{2}-\frac{9}{4}n$．

点评 本题考查等差数列通项公式及前n项和性质，考查等差前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．