Question

2．若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）为减函数，若f（2）=0，不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 由题意：定义在R上的奇函数，可得f（-x）=-f（x），在（0，+∞）为减函数，即在R上是减函数，f（2）=0，不等式（x-1）f（x-1）＞0．即可求解．

解答 解：定义在R上的奇函数，可得f（-x）=-f（x），在（0，+∞）为减函数，即在R上是减函数，
∵f（2）=0，则f（-2）=0．
令t=x-1，不等式（x-1）f（x-1）＞0转化为tf（t）＞0．
当t＞0时，则f（t）＜0，可得：t＞2，即x-1＞2，解得：x＞3；
当t＜0时，则f（t）＞0，可得：t＜-2，即x-1＜-2，解得：x＜-1；
综上所得：不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞）．
故答案为：（-∞，-1）∪（3，+∞）．

点评 本题考查了函数的性质奇偶性的运用和单调性的运用．属于中档题．