Question

13．已知函数f（x）=x²-4|x|+3，x∈R．
（1）判断函数的奇偶性并将函数写成分段函数的形式；
（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间；
（3）若函数f（x）的图象与y=a的图象有四个不同交点，则实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）=f（x）得函数为偶函数，对x分类讨论：x≥0，x＜0得分段函数的解析式；
（2）由分段函数分两种情况作二次函数的图象；
（3）由图象可知函数的单调区间及值域．

解答 解：（1）因为函数的定义域为R，关于坐标原点对称，
且f（-x）=（-x）²-4|-x|+3=x²-4|x|+3=f（x），
故函数为偶函数．
f（x）=x²-4|x|+3=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3，x≥0}\\{{x}^{2}+4x+3，x＜0}\end{array}\right.$
（2）如图，
单调增区间为：：[-2，0），[2，+∞），
单调减区间为（-∞，-2），[0，2]．
（3）由函数的图象可知：函数f（x）的图象与y=a的图象有四个不同交点，则实数a的取值范围：（-1，3）．

点评 本题考查函数的图象及性质．考查数形结合思想，转化思想以及计算能力．