Question

8．设函数f（x）=log₂（4x）•log₂（2x），且x满足4-17x+4x²≤0，求f（x）的最值，并求出取得最值时，对应f（x）的 值．

Answer 1

分析 化简函数的表达式，利用换元法，结合二次函数的最值求解即可．

解答 解：f（x）=（log₂x+log₂4）（log₂x+log₂2）
=（log₂x+2）（log₂x+1）=log${\;}_{2}^{2}$x+3log₂x+2，
设log₂x=t，∴y=t²+3t+2=（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$（-2≤t≤2）
当t=-$\frac{3}{2}$，即log₂x=-$\frac{3}{2}$，x=2^-$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$时，f（x）_min=-$\frac{1}{4}$
当t=2即log₂x=2，x=4时，f（x）_max=12．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，换元法以及二次函数的性质的应用，考查计算能力．