Question

18．下列四个命题：
（1）f（x）=$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{1-x}$有意义；
（2）设x₁，x₂为y=f（x）的定义域内的任意两个变量，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，则y=f（x）是定义域上的增函数；
（3）函数y=2x（x∈N）的图象是一条直线；
（4）函数y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$的图象是抛物线．
其中正确的命题个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1），f（x）=$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{1-x}$中要满足x-2＞0且1-x≥0⇒x≥2且x≤1⇒x∈∅；
（2），定义域内的任意两个变量x₁，x₂满足：（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，则x₁-x₂与 f（x₁）-f（x₂）同号，则y=f（x）是定义域上的增函数；
（3），函数y=2x（x∈N）的图象是在一条直线上的孤立的点，不是直线；
（4），函数y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$的图象x＞0时在横轴上方，x＜0时，在横轴下方，不是抛物线．

解答 解：对于（1），f（x）=$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{1-x}$中要满足x-2＞0且1-x≥0⇒x≥2且x≤1⇒x∈∅，故错；
对于（2），定义域内的任意两个变量x₁，x₂满足：（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，则x₁-x₂与 f（x₁）-f（x₂）同号，则y=f（x）是定义域上的增函数，故正确；
对于（3），函数y=2x（x∈N）的图象是在一条直线上的孤立的点，不是直线，故错；
对于（4），函数y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$的图象x＞0时在横轴上方，x＜0时，在横轴下方，不是抛物线，故错．
故选：A．

点评 本题考查了命题的真假判定，涉及到了函数定义域、单调性、图象等的性质，属于中档题．