Question

8．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
（1）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值；
（2）求二面角A-PD-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD中点O，连结PO，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PC与平面PBD所成角的正弦值；
（2）求出平面PBD的法向量和平面APD的法向量，利用向量法能求出二面角A-PD-B的平面角的余弦值．

解答 解：（1）取AD中点O，连结PO，
∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，
侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
∴以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2，则P（0，0，$\sqrt{3}$），C（-1，2，0），
B（1，2，0），D（-1，0，0），
$\overrightarrow{PC}$=（-1，2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{PD}$=（-1，0，-$\sqrt{3}$），
设平面PBD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x+2y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-x-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），
设直线PC与平面PBD所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8}•\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{42}}{14}$．
∴直线PC与平面PBD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{42}}{14}$．
（2）∵设平面PBD的法向量$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}，\sqrt{3}$，1），
平面APD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设二面角A-PD-B的平面角为α，
∴cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴二面角A-PD-B的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．