Question

13．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P（3，1），α∈（0，π），β∈（0，π），tan（α-β）=$\frac{sin2（\frac{π}{2}-α）+4co{s}^{2}α}{10co{s}^{2}α+cos（\frac{3π}{2}-2α）}$．
（1）求tan（α-β）的值；
（2）求tan β的值．
（3）求2α-β的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换的应用化简等式右边，结合已知即可计算得解．
（2）利用β=（α-β）-α，结合两角差的正切函数公式即可计算得解．
（3）利用两角差的正切函数公式计算可求tan（2α-β）=1，结合范围0＜2α＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＜β＜π，-π＜2α-β＜0，即可得解．

解答 解：（1）由已知tanα=$\frac{1}{3}$．
∵tan（α-β）=$\frac{sin2（\frac{π}{2}-α）+4co{s}^{2}α}{10co{s}^{2}α+cos（\frac{3π}{2}-2α）}$=$\frac{sin2α+4cos2α}{10cos2α-sin2α}$=$\frac{2sinαcosα+4cos2α}{10cos2α-2sinαcosα}$=$\frac{2cosα?sinα+2cosα?}{2cosα?5cosα-sinα?}$=$\frac{sinα+2cosα}{5cosα-sinα}$=$\frac{tanα+2}{5-tanα}$=$\frac{{\frac{1}{3}+2}}{{5-\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}$．…（3分）
（2）tan β=-tan[（α-β）-α]=-$\frac{tan（α-β）-tanα}{1+tan（α-β）tanα}$=$\frac{{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}}{{1+\frac{1}{2}•\frac{1}{3}}}=-\frac{1}{7}$．…（7分）
（3）∵tan α=$\frac{1}{3}$＞0，
∴0＜α＜$\frac{π}{2}$，
又∵tan 2α=$\frac{2tanα}{1-tan2α}$=$\frac{2×\frac{1}{3}}{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{3}{4}$＞0，
∴0＜2α＜$\frac{π}{2}$，
∴tan（2α-β）=$\frac{tan2α-tanβ}{1+tan2αtanβ}$=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{7}}{1-\frac{3}{4}×\frac{1}{7}}$=1．
∵tan β=-$\frac{1}{7}$＜0，
∴$\frac{π}{2}$＜β＜π，-π＜2α-β＜0，
∴2α-β=-$\frac{3π}{4}$．…（12分）       （如果多个答案，没判断范围扣2分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．