Question

4．若函数f（x）=a²x³+ax²-x在[1，3]上不单调，则a的取值范围为（　　）

• A． $（\frac{1}{9}，\frac{1}{3}）$
• B． $（-1，-\frac{1}{3}）$
• C． $（-1，-\frac{1}{3}）∪（\frac{1}{9}，\frac{1}{3}）$
• D． $[{-1，-\frac{1}{3}}]∪[{\frac{1}{9}，\frac{1}{3}}]$

Answer 1

分析 求出函数的导数，由题意得函数的导数在[1，3]上至少有一个零点，不能有两个相等的零点，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=a²x³+ax²-x
∴f′（x）=3a²x²+2ax-1，
∵若函数f（x）=a²x³+ax²-x在[1，3]上不是单调函数，
∴f′（x）=3a²x²+2ax-1=0在[1，3]上有两个不等的根，或者在[1，3]上由一个根，但是不是重根．
即△=4a²+12a²＞0，恒成立．f′（1）f′（3）＜0，可得：（3a²+2a-1）（27a²+6a-1）＜0
可得：$\left\{\begin{array}{l}{{3a}^{2}+2a-1＞0}\\{27{a}^{2}+6a-1＜0}\end{array}\right.$，解得a∈∅；或$\left\{\begin{array}{l}{3{a}^{2}+2a-1＜0}\\{27{a}^{2}+6a-1＞0}\end{array}\right.$，
解得a∈$（-1，-\frac{1}{3}）∪（\frac{1}{9}，\frac{1}{3}）$．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究三次多项式函数的单调性，从而求参数a的取值范围，属于中档题，解题时应该注意导函数等于0的等根的情形，以免出现只一个零点的误解．