Question

17．若不存在实数x使不等式|x-1|+|x-3|≤a²-2a-1成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a＜-1或a＞3
• B． -1＜a＜3
• C． -1≤a≤3
• D． a≤-1或a≥3

Answer 1

分析 不存在实数x使不等式|x-1|+|x-3|≤a²-2a-1成立??x∈R，使不等式|x-1|+|x-3|＞a²-2a-1恒成立，再构造函数f（x）=|x-1|+|x-3|，求得f（x）_min，依题意得：a²-2a-1＜f（x）_min，解之即可得到答案．

解答 解：不存在实数x使不等式|x-1|+|x-3|≤a²-2a-1成立??x∈R，使不等式|x-1|+|x-3|＞a²-2a-1恒成立，
构造函数f（x）=|x-1|+|x-3|，则a²-2a-1＜f（x）_min．
因为：|x-1|+|x-3|≥|（x-1）-（x-3）|=2，
所以，f（x）_min=2，
所以，a²-2a-1＜2，
解得：-1＜a＜3．
故选：B．

点评 本题考查函数恒成立问题，深刻理解题意，将“不存在实数x使不等式|x-1|+|x-3|≤a²-2a-1成立”等价转化为“?x∈R，使不等式|x-1|+|x-3|＞a²-2a-1恒成立”是关键，考查构造法与绝对值不等式的应用，属于中档题，易错题．