Question

7．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）平分圆x²+y²+2x-4y+1=0，则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为9．

Answer 1

分析 利用直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²+2x-4y+1=0的圆周，可得圆的圆心（-1，2）在直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）上，再利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值．

解答 解：由题意，圆的圆心（-1，2）在直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）上
∴-2a-2b+2=0（a＞0，b＞0）
∴a+b=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）=5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=9．
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$，即a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$时，$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为9．
故答案为：9．

点评 本题考查圆的对称性，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．