Question

2．已知函数f（x）=3x²-2ax-b，其中a，b是实数．
（1）若不等式f（x）≤0的解集是[0，6]，求a^b的值；
（2）若b=3a，对任意x∈R，都有f（x）≥0，且存在实数x，使得f（x）≤2-$\frac{2}{3}$a，求实数a的取值范围；
（3）若方程有一个根是1，且a，b＞0，求$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{b+2}$的最小值，及此时a，b的值．

Answer 1

分析 （1）利用不等式的解集，转化为方程的根，求解即可．
（2）利用二次函数的性质，列出不等式组求解即可．
（3）利用基本不等式转化求解函数的最值的即可．

解答 解：（1）依题意，0+6=$\frac{2a}{3}$，0×6=$-\frac{b}{3}$，解得a=9，b=0，∴a^b=1…4分
（2）若b=3a，则f（x）=3x²-2ax-3a．
依题意，$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}+36a≤0…①}\\{\frac{-36a-4{a}^{2}}{12}≤2-\frac{2}{3}a…②}\end{array}\right.$，由①得，-9≤a≤0，
由②得，a≥0或a≤-6，
所以，-9≤a≤-6或a=0为所求．…10分
（3）∵方程有一个根是1，且a、b＞0，∴3-2a-b=0，即2a+b=3，
∵2a+b=3可得（2a+1）（b+2）=6，
设u=2a+1，v=b+2，可得u，v＞0，u+v=6，
$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{b+2}$=$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$=$\frac{1}{6}（2+\frac{v}{u}+\frac{u}{v}）$≥$\frac{2}{3}$，
当且仅当u=v=3，即a=b=1时取等号．…16分．

点评 本题考查函数的零点个数，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．