Question

12．已知等差数列{a_n}满足：a₄=7，a₁₀=19，其前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=7}\\{{a}_{1}+9d=19}\end{array}\right.$，
解得：a₁=1，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．