Question

7．求下列函数的定义域和值域：
（1）y=3${\;}^{\frac{1}{2x+1}}$
（2）y=$\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{x}}$
（3）y=log₂$\frac{1}{1-{3}^{x}}$．

Answer 1

分析 根据函数解析式有意义列出x意义的不等式和根据定义域来求解值域．

解答 解：（1）y=3${\;}^{\frac{1}{2x+1}}$
定义域满足：2x+1≠0，解得：x$≠-\frac{1}{2}$，
故得定义域为{x|$x≠-\frac{1}{2}$}．
∵$\frac{1}{2x+1}≠0$，且3${\;}^{\frac{1}{2x+1}}$＞0，
∴3${\;}^{\frac{1}{2x+1}}$≠1
故得值域为{y|y＞0且y≠1}．
（2）y=$\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{x}}$
定义域满足：$1-（\frac{2}{3}）^{x}≥0$，解得：x≥0，
∵$（\frac{2}{3}）^{x}＞0$且$1≥（\frac{2}{3}）^{x}$，
故得：$0≤1-（\frac{2}{3}）^{x}＜1$，
∴0≤$\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{x}}$＜1，
故得值域为{y|1＞y≥0}．
（3）y=log₂$\frac{1}{1-{3}^{x}}$．
定义域满足：$\frac{1}{1-{3}^{x}}＞0$，即1-3^x＞0，解得：x＜0，
故得定义域为{x|x＜0}．
∵3^x＞0，且1-3^x＞0，即1-3^x＜1，
故：$\frac{1}{1-{3}^{x}}＞1$，
∴log₂$\frac{1}{1-{3}^{x}}$＞0
故得定义域为{y|y＞0}．

点评 本题考查了函数的定义域和值域求法．比较基础题．