Question

19．已知公差为d的等差数列{a_n}和公比q＜0的等比数列{b_n}，a₁=b₁=1，a₂+b₂=1，a₃+b₃=4
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=2${\;}^{{a}_{n}}$•b_n²（n∈N^*），抽去数列{c_n}的第1项、第4项、第7项、…、第（3n-2）项、…，余下的项的顺序不变，构成一个新的数列{d_n}求数列{d_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用条件列出方程，求出公差与公比，得到通项公式．
（2）解法一：利用${d_{2n-1}}={c_{3n-1}}={2^{3n-1}}$； ${d_{2n}}={c_{3n}}={2^{3n}}$．项数是奇数项与偶数项分别求解数列的和．
解法二：通过c_n=2${\;}^{{a}_{n}}$•b_n²，偶数项转化为两个等比数列求和；奇数项借助偶数项的和求解数列的和．

解答 解：（1）由题意，得$\left\{\begin{array}{l}（1+d）+1•q①\\（1+2d）+1•{q^2}②\end{array}\right.$…（2分）
由①，得d=-q．代入②中，可得q²-2q-3=0．
解得q=3，或q=-1．因为公比q＜0，所以舍去q=3，从而q=-1．
所以d=-q=1．…（4分）
所以a_n=1+（n-1）•1=n，${b_n}=1•{（-1）^{n-1}}={（-1）^{n-1}}$．…（6分）
（2）${c_n}={2^{a_n}}•{b_n}^2={2^n}$．
解法一：由题意，${d_{2n-1}}={c_{3n-1}}={2^{3n-1}}$； ${d_{2n}}={c_{3n}}={2^{3n}}$．…（7分）
当n=2k（k∈N^*）时，S_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2k=（d₁+d₃+…+d_2k-1）+（d₂+d₄+…+d_2k）=（2²+2⁵+…+2^3k-1）+（2³+2⁶+…+2^3k）…（8分）
=$\frac{{4-{2^{3k-1}}•{2^3}}}{{1-{2^3}}}+\frac{{8-{2^{3k}}•{2^3}}}{{1-{2^3}}}$=$\frac{{12（{2^{3k}}-1）}}{7}=\frac{{12（{2^{\frac{3}{2}n}}-1）}}{7}$．…（10分）
当n=2k-1（k∈N^*）时，S_n=S_2k-1=S_2k-d_2k=$\frac{{12（{2^{3k}}-1）}}{7}-{2^{3k}}$=$\frac{{5•{2^{3k}}-12}}{7}$=$\frac{{5•{2^{\frac{3（n+1）}{2}}}-12}}{7}$．…（12分）
综上，${S_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{{5•{2^{\frac{3（n+1）}{2}}}-12}}{7}，n为奇数\\ \frac{{12（{2^{\frac{3}{2}n}}-1）}}{7}，n为偶数.\end{array}\right.$…（13分）
解法二：当n=2k（k∈N^*）时，S_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2k=（c₁+c₂+…+c_3k）-（c₁+c₄+…+c_3k-2）…（7分）
=（2¹+2²+…+2^3k）-（2¹+2⁴+…+2^3k-2）=$\frac{{2-{2^{3k}}•2}}{1-2}-\frac{{2-{2^{3k-2}}•{2^3}}}{{1-{2^3}}}$…（9分）
=$\frac{{6•{2^{3k+1}}-12}}{7}=\frac{{12（{2^{\frac{3}{2}n}}-1）}}{7}$．…（10分）
当n=2k-1（k∈N^*）时，S_n=S_2k-1=S_2k-c_3k=$\frac{{6•{2^{3k+1}}-12}}{7}-{2^{3k}}$=$\frac{{5•{2^{\frac{3（n+1）}{2}}}-12}}{7}$．…（12分）
综上，${S_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{{5•{2^{\frac{3（n+1）}{2}}}-12}}{7}，n为奇数\\ \frac{{12（{2^{\frac{3}{2}n}}-1）}}{7}，n为偶数.\end{array}\right.$…（13分）

点评 本题考查数列求和的方法，提出公司的求法，考查转化思想以及计算能力．