Question

5．已知数列{a_n}中，a₁=4，a_n+1=2（a_n+2ⁿ），若不等式2n²-n-3＜λa_n对?n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围是$（\frac{3}{8}，+∞）$．

Answer 1

分析 a_n+1=2（a_n+2ⁿ），变形为$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，利用等差数列的通项公式可得：a_n=（n+3）•2ⁿ．不等式2n²-n-3＜λa_n对?n∈N^*恒成立，化为λ＞$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$=b_n，再利用数列{b_n}的单调性即可得出．

解答 解：∵a_n+1=2（a_n+2ⁿ），∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差数列，公差为1，首项为2．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+（n-1）=n+1．
∴a_n=（n+3）•2ⁿ．
不等式2n²-n-3＜λa_n对?n∈N^*恒成立，
∴λ＞$\frac{2{n}^{2}-n-3}{（n+3）•{2}^{n}}$=$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$=b_n，
b₁＜0，n≥2时，b_n＞0，
b_n+1-b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$=$\frac{5-2n}{{2}^{n+1}}$，
可得n=2时，b₂＜b₃，
n≥3时，数列{b_n}单调递减．
因此n=3时，b_n取得最大值，b₃=$\frac{3}{8}$．
∴$λ＞\frac{3}{8}$．
故答案为：$（\frac{3}{8}，+∞）$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．