Question

18．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，M是PD的中点．
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直判定定理，需先证得线面垂直，故证明PD⊥平面ABM．
（2）建立空间直角坐标系，运用向量法求解线面所成角．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABCD．∴PA⊥AB
  又 底面ABCD是矩形，
∴AB⊥AD 且PA∩AD=A．
∴AB⊥平面PAD
∴AB⊥PD
∵PA=AD，M是PD的中点，
∴AM⊥PD
  又AM∩AB=A
∴PD⊥平面ABM
又PD?平面PCD
∴平面ABM⊥平面PCD．
解：（2）由题AB⊥AP，AB⊥AD，AD⊥AP．
分别以AB，AD，AP方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
∴C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，4），
  M 为PD 中点，∴M（0，2，2）
∴$\overrightarrow{CD}=（-2，0，0）$，$\overrightarrow{AC}=（2，4，0）$，$\overrightarrow{AM}=（0，2，2）$
设平面ACM的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$    即$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=0}\\{y+z=0}\end{array}\right.$
取x=2，得法向量$\overrightarrow{n}=（2，-1，-1）$
记直线CD与平面ACM所成角为θ，
则$sinθ=|cos＜\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CD}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
故直线CD与平面ACM所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 考查线面垂直、面面垂直的判定定理，向量法求解线面角．已知条件给定了两两相互垂直的三条棱且棱长确定，思路不难找，运算量不大，属于基础题．但是向量法求得的向量角的余弦值对应着线面角的正弦值，这点易错．故属于易错题．