Question

19．若函数f（x）=Asin（$\frac{π}{2}$x+φ）（A＞0）满足f（1）=0，则（　　）

• A． f（x-2）一定是奇函数
• B． f（x+1）一定是偶函数
• C． f（x+3）一定是偶函数
• D． f（x-3）一定是奇函数

Answer 1

分析 由已知求得φ，分类求出f（x）的解析式，然后利用诱导公式逐一化简四个函数并判断其奇偶性得答案．

解答 解：由f（1）=Asin（$\frac{π}{2}$+φ）=Acosφ=0，得φ=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．
∴f（x）=Asin（$\frac{π}{2}$x+φ）=Asin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{2}+kπ$），k∈Z．
当k为偶数时，f（x）=Acos$\frac{π}{2}x$，
当k为奇数时，f（x）=-Acos$\frac{π}{2}x$．
∴f（x）=Acos$\frac{π}{2}x$或f（x）=-Acos$\frac{π}{2}x$．
f（x-2）=Acos（$\frac{π}{2}x-π$）=-Acos$\frac{π}{2}x$或f（x-2）=Acos$\frac{π}{2}x$，为偶函数；
f（x+1）=Acos（$\frac{π}{2}x+\frac{π}{2}$）=-Asin$\frac{π}{2}x$或f（x+1）=Asin$\frac{π}{2}x$，为奇函数；
f（x+3）=Acos（$\frac{π}{2}x+\frac{3π}{2}$）=Asin$\frac{π}{2}x$或f（x+3）=-Asin$\frac{π}{2}x$，为奇函数；
f（x-3）=Acos（$\frac{π}{2}x-\frac{3π}{2}$）=-Asin$\frac{π}{2}x$或f（x-3）=Asin$\frac{π}{2}x$，为奇函数．
故选：D．

点评 本题考查正弦函数、余弦函数的图象和性质，考查了诱导公式的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．