Question

17．已知函数f（x）=-（x-2m）（x+m+3）（其中m＜-1），g（x）=2^x-2．
（1）若命题“log₂g（x）＜1”是真命题，求x的取值范围；
（2）设命题p：?x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0；，若P是真命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由于命题“log₂g（x）≥1”是假命题，由log₂g（x）≥1解出，进而得出；
（II）由于当x＞1时，g（x）＞0，要p是真命题，可得f（x）＜0在（1，+∞）恒成立，可得m的取值范围

解答 解：∵命题“log₂g（x）＜1”是真命题，即${log_2}（{2^x}-2）＜1$，
∴0＜2^x-2＜2，解得1＜x＜2，∴x的取值范围是（1，2）；
（2）∵p是真命题，
当x＞1时，g（x）=2^x-2＞0，要使p是真命题，必须f（x）＜0
∵m＜-1，∴2m＜-m-3，∴f（x）＜0⇒x＜2m或x＞-m-3
∴-m-3≤1，解得-1＞m≥-4
m的取值范围：-4≤m＜-1．

点评 本题考查了已知命题真假求参数范围的方法，同时又涉及到不等式及函数的基础知识，属于中档题．