Question

9．给出下列四个命题：
①已知M={（x，y）|$\frac{y-3}{x-2}$=3}，N={（x，y）|ax+2y+a=0}且M∩N=∅，则a=-6；
②已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则以AB为直径的圆的方程是（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0；
③$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a≠b）表示焦点在x轴上的椭圆；
④已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点弦AB的两端点坐标分别为A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），则$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-4
其中的真命题是②④．（把你认为是真命题的序号都填上）

Answer 1

分析 ①，$\frac{y-3}{x-2}$=3中x≠2，不过点（2，3）；②，设圆上任意一点P（x，y），有$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，可得圆的方程；
③，a≠b时，椭圆焦点在x、y轴上均可能，还有可能是椭圆；④设直线AB的方程为x=my+$\frac{P}{2}$，与抛物线方程联立消掉x得y的二次方程，根据韦达定理即可求得答案．

解答 解：对于 ①，$\frac{y-3}{x-2}$=3中x≠2，不过点（2，3），把点（2，3）代入ax+2y+a=0，a=-2，故错；
对于②，设圆上任意一点P（x，y），有$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，可得圆的方程（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0，故正确；
对于③，a≠b时，椭圆焦点在x、y轴上均可能，还有可能是椭圆，故错；                                      
对于④，设直线AB的方程为x=my+$\frac{p}{2}$代入y²=2px，可得y²-2pmy-p²=0，由韦达定理得，y₁y₂=-p²．∵y₁²=2px₁、y₂²=2px₂∴，x₁x₂=$\frac{1}{4}$p^2
⇒ 则$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-4，故正确．
 故答案：②④

点评 本题考查了命题真假的判定，涉及到了解析几何的大量基础知识，属于中档题．