Question

20．已知函数f（x）=x-2sinx
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]的最值；
（Ⅱ）若存在$x∈（0，\frac{π}{2}）$，不等式f（x）＜ax成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对f（x）求导，利用导函数判断函数的单调性，即可求出最值；
（2）存在$x∈（0，\frac{π}{2}）$，x-2sinx＜ax成立，设g（x）=f（x）-ax=x-2sinx-ax，根据g（x）导函数判断g（x）的单调性即可；

解答 （1）f'（x）=1-cos2x，[0，π]时$f'（x）＞0⇒\frac{π}{3}＜x≤π$；$f'（x）＜0⇒0≤x＜\frac{π}{3}$
函数f（x）在$[{0，\frac{π}{3}}]$单调递减，在$[{\frac{π}{3}，π}]$单调递减增．
x∈[0，π]时，${f_{min}}（x）=f（\frac{π}{3}）=\frac{π}{3}-\sqrt{3}$f（0）=0，f（π）=π，f_max（x）=f（π）=π；
（2）存在$x∈（0，\frac{π}{2}）$，不等式f（x）＜ax成立；
存在$x∈（0，\frac{π}{2}）$，x-2sinx＜ax成立；
设g（x）=f（x）-ax=x-2sinx-ax，则g（0）=0且g'（x）=1-a-2cosx．
$x∈（0，\frac{π}{2}）$时，1-2cosx∈（-1，1）；
所以g'（x）=1-a-2cosx∈（-1-a，1-a）；
若-1-a＜0，即a＞-1时，g'（0）=-1-a＜0；
因为g'（x）=1-a-2cosx在$（0，\frac{π}{2}）$单调递增，所以存在区间$（{0，t}）?（0，\frac{π}{2}）$，
使x∈（0，t）时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，t）单调递减，
x∈（0，t）时，g（x）＜0 即f（x）＜ax；
所以：a＞-1．

点评 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性与最值，以及构造函数的应用，属中等题．