Question

3．已知定义域为R的函数$f（x）=\frac{{-{2^x}+1}}{{{2^x}+1}}$．
（1）用定义证明：f（x）为R上的奇函数；
（2）用定义证明：f（x）在R上为减函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）因为f（-x）=$\frac{{-2}^{-x}+1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{-1+{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-f（x），利用奇函数的定义即可证明f（x）为R上的奇函数；
（2）令x₁＜x₂，则${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，将f（x₁）与f（x₂）作差，利用函数单调性的定义可证明：f（x）在R上为减函数；
（3）由（1）（2）可知奇函数f（x）在R上为减函数，故f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立?t²-2t＞k-2t²恒成立，即k＜（3t²-2t）_min，利用二次函数的单调性质可求得（3t²-2t）_min，从而可求k的取值范围．

解答 （1）证明：∵$f（x）=\frac{{-{2^x}+1}}{{{2^x}+1}}$，
∴f（-x）=$\frac{{-2}^{-x}+1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{-1+{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
∴f（x）为R上的奇函数；…5分
（2）解：∵$f（x）=\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x}+1}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
令x₁＜x₂，则${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{2{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{{2}^{{{x}_{1}+x}_{2}}}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上为减函数；…11分
（3）解：∵f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，f（x）为R上的奇函数，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），又f（x）在R上为减函数，
∴t²-2t＞k-2t²恒成立，
∴k＜（3t²-2t）_min，由二次函数的单调性质知，当t=$\frac{1}{3}$时，y=（3t²-2t）_min，取得最小值，即（3t²-2t）_min，=3×（$\frac{1}{3}$）²-2×$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{3}$．
∴$k＜-\frac{1}{3}$…16分．

点评 本题考查函数恒成立问题，突出考查函数的奇偶性与单调性的判定及综合运用，考查转化思想与函数与方程思想，属于难题．