Question

15．设常数a＞0，（x+$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁹展开式中x⁶的系数为4，则$\underset{lim}{n→∞}$（a+a²+…+aⁿ）=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由${T}_{r+1}={C}_{9}^{r}{x}^{9-r}{a}^{r}{x}^{-\frac{r}{2}}$=${{a}^{r}C}_{9}^{r}{x}^{\frac{18-3r}{2}}$，根据x⁶的系数为4，求出r=2，从而${a}^{2}{C}_{9}^{2}$=4，解得a=$\frac{1}{3}$，由此能求出$\underset{lim}{n→∞}$（a+a²+…+aⁿ）的值．

解答 解：∵常数a＞0，（x+$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁹展开式中x⁶的系数为4，
∴${T}_{r+1}={C}_{9}^{r}{x}^{9-r}{a}^{r}{x}^{-\frac{r}{2}}$=${{a}^{r}C}_{9}^{r}{x}^{\frac{18-3r}{2}}$，
当$\frac{18-3r}{2}=6$时，r=2，
∴${a}^{2}{C}_{9}^{2}$=4，解得a=$\frac{1}{3}$，
∴a+a²+…+aⁿ=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
∴$\underset{lim}{n→∞}$（a+a²+…+aⁿ）=$\underset{lim}{n→∞}[\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）]$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的前n项和极限的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项式定理、极限性质的合理运用．