Question

7．已知数列{a_n}满足a_n+a_n-1=（-1）${\;}^{\frac{n（n+1）}{2}}$n，S_n是其前n项和，若 S₂₀₁₇=-1007-b，且a₁b＞0，则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{b}$的最小值为（　　）

• A． 3-2$\sqrt{2}$
• B． 3
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 a_n+a_n-1=（-1）${\;}^{\frac{n（n+1）}{2}}$n，n=2k+1时，a_2k+1+a_2k=（-1）^k+1（2k+1），可得S₂₀₁₇=a₁+（a₂+a₃）+…+（a₂₀₁₆+a₂₀₁₇）=a₁-2×504=-1007-b，可得a₁+b=1．且a₁b＞0，a₁，b＞0．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a_n+a_n-1=（-1）${\;}^{\frac{n（n+1）}{2}}$n，
∴n=2k+1时，a_2k+1+a_2k=（-1）^k+1（2k+1），
∴S₂₀₁₇=a₁+（a₂+a₃）+…+（a₂₀₁₆+a₂₀₁₇）
=a₁+3-5+7-9+…+2016-2017=a₁-2×504=a₁-1008
=-1007-b，
∴a₁+b=1．且a₁b＞0，∴a₁，b＞0．
则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{b}$=（a₁+b）$（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{2}{b}）$=3+$\frac{b}{{a}_{1}}$+$\frac{2{a}_{1}}{b}$≥3+2$\sqrt{\frac{b}{{a}_{1}}×\frac{2{a}_{1}}{b}}$=3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当a₁=$\sqrt{2}$-1，b=2-$\sqrt{2}$时取等号．
故选：D．

点评 本题考查了数列分组求和、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．