Question

17．已知f（x+1）=$\frac{{{x^2}+2x}}{x+1}$（x≠-1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求证：f（$\frac{1}{x}$）=f（-x）；
（Ⅲ）求证：f（x）在（0，+∞）为单调增函数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用换元法直接求函数f（x）的解析式，利用函数奇偶性的定义判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）代入函数的解析式即可证明f（$\frac{1}{x}$）=f（-x）；
（Ⅲ）利用函数的单调性的定义证明即可．

解答 解：（Ⅰ）设x+1=t，则$f（t）=\frac{{{t^2}-1}}{t}$，所以$f（x）=x-\frac{1}{x}$，$f（-x）=-x+\frac{1}{x}=-f（x）$，
所以f（x）为奇函数．
（Ⅱ）证明：$f（\frac{1}{x}）=\frac{1}{x}-x=-f（x）$，所以：f（$\frac{1}{x}$）=f（-x）；
（Ⅲ）证明：设x₁＞x₂＞0，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}-\frac{1}{x_1}-{x_2}+\frac{1}{x_2}$=${x_1}-{x_2}-\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}═{x_1}-{x_2}+\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}＞0$
所以f（x）在（0，+∞）为单调增函数．

点评 本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，考查计算能力．