Question

12．数列{a_n}定义如下：a₁=1，a₂=3，${a_{n+2}}=\frac{{2（n+1）{a_{n+1}}}}{n+2}-\frac{n}{n+2}{a_n}$，n=1，2，…．若${a_m}＞4+\frac{2016}{2017}$，则正整数m的最小值为8069．

Answer 1

分析 由${a_{n+2}}=\frac{{2（n+1）{a_{n+1}}}}{n+2}-\frac{n}{n+2}{a_n}$，变形为（n+2）a_n+2+na_n=2（n+1）a_n+1，利用等差数列的通项公式可得a_n．代入${a_m}＞4+\frac{2016}{2017}$，即可得出．

解答 解：∵${a_{n+2}}=\frac{{2（n+1）{a_{n+1}}}}{n+2}-\frac{n}{n+2}{a_n}$，
∴（n+2）a_n+2+na_n=2（n+1）a_n+1，
∴数列{na_n}是等差数列，首项为1，公差为2a₂-a₁=5．
∴na_n=1+5（n-1）=5n-4，
∴a_n=5-$\frac{4}{n}$．
∵${a_m}＞4+\frac{2016}{2017}$，∴$5-\frac{4}{m}$＞4+$\frac{2016}{2017}$，解得m＞8068，
则正整数m的最小为8069．
故答案为：8069．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．