Question

17．已知x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-4≥0}\\{2x-y-5≤0}\end{array}\right.$，
求（1）z=x+2y的最大值；
（2）z=x²+y²-10y+25的最小值．

Answer 1

分析 （1）作出不等式组对应的平面区域，利用直线平行进行求解即可．
（2）z的几何意义是两点间的距离的平方，利用点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：（1）由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-4≥0}\\{2x-y-5≤0}\end{array}\right.$表示的可行域如下图所示，

由z=x+2y，得y=-$\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，
平移直线y=-$\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，由图象可知当直线y=-$\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$经过点A时，直线y=-$\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$的截距最大，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=7}\\{y=9}\end{array}\right.$，即A（7，9），此时z=7+2×9=25；
（2）z=x²+y²-10y+25=x²+（y-5）²，z的几何意义为点P（x，y）到点（0，5）的距离的平方；
由图知，最小值为（0，5）到直线x-y+2=0的距离的平方，
即d²=（$\frac{|0-5+2|}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{9}{2}$．经检验，垂足在线段AC上．

点评 本题主要考查线性规划的应用，可以直线平移以及两点间的距离公式是解决本题的关键．