Question

1．函数$f（x）=\frac{{4x-4{x^3}}}{{1+2{x^2}+{x^4}}}$在R上的最大值为1．

Answer 1

分析 当x≠0时，═$\frac{4（\frac{1}{x}-x）}{\frac{1}{{x}^{2}}+{x}^{2}+2}=\frac{4（\frac{1}{x}-x）}{（\frac{1}{x}-x）^{2}+4}$令$\frac{1}{x}-x=t$，t∈R，原函数化为g（t）=$\frac{4t}{{t}^{2}+4}=\frac{4}{t+\frac{4}{t}}$，可得原函数的最大值．．

解答 解：1）当x=0时，f（x）=0；
2）当x≠0时，═$\frac{4（\frac{1}{x}-x）}{\frac{1}{{x}^{2}}+{x}^{2}+2}=\frac{4（\frac{1}{x}-x）}{（\frac{1}{x}-x）^{2}+4}$，
令$\frac{1}{x}-x=t$，t∈R，原函数化为g（t）=$\frac{4t}{{t}^{2}+4}=\frac{4}{t+\frac{4}{t}}$，又因为t+$\frac{4}{t}≥4$或为t+$\frac{4}{t}≤-4$，原函数的最大值为1．
故答案：1．

点评 本题考查了函数最值的求解基本方法，涉及到的一系列的变形，属于中档题．