Question

2．设x³+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤（写出所有正确条件的编号）
①a=-3，b=-3．②a=-3，b=2．③a=-3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．

Answer 1

分析 对五个条件分别分析解答；利用数形结合以及导数，判断单调区间以及极值．

解答 解：设f（x）=x³+ax+b，f'（x）=3x²+a，
①a=-3，b=-3时，令f'（x）=3x²-3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=-5，f（-1）=-1；
并且x＞1或者x＜-1时f'（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）都是增函数，
所以函数图象与x轴只有一个交点，故x³+ax+b=0仅有一个实根；如图

②a=-3，b=2时，令f'（x）=3x²-3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=0，f（-1）=4；如图

③a=-3，b＞2时，函数f（x）=x³-3x+b，f（1）=-2+b＞0，函数图象形状如图②，所以方程x³+ax+b=0只有一个根；
④a=0，b=2时，函数f（x）=x³+2，f'（x）=3x²≥0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x³+ax+b=0只有一个根；
⑤a=1，b=2时，函数f（x）=x³+x+2，f'（x）=3x²+1＞0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x³+ax+b=0只有一个根；
综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根的关系；关键是数形结合、利用导数解之．