Question

15．三棱锥S-ABC中，SB⊥平面ABC，SB=$\sqrt{5}$，△ABC是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，则该三棱锥S-ABC的外接球的表面积为（　　）

• A． 3π
• B． 5π
• C． 9π
• D． 12π

Answer 1

分析 由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SB为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，得球的半径R，然后求解表面积．

解答 解：根据已知中SB⊥平面ABC，SB=$\sqrt{5}$，△ABC是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，
可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SB为高的正三棱柱的外接球，
∵△ABC是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，
∴△ABC的外接圆半径r=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}$=1，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故球的半径R=$\sqrt{1+\frac{5}{4}}$=$\frac{3}{2}$．
三棱锥S-ABC外接球的表面积为：4π×$\frac{9}{4}$=9π．
故选：C．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R公式是解答的关键．