Question

20．已知函数f（x）=（x²-3x+3）e^x，其中e是自然对数的底数．
（1）若x∈[-2，a]，-2＜a＜1，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）设a＞-2，求证：f（a）＞$\frac{13}{e^2}$；
（3）设h（x）=f（x）+（x-2）e^x，x∈（1，+∞），是否存区间[m，n]⊆（1，+∞），使得x∈[m，n]时，y=h（x）的值域也是[m，n]？若存在，请求出一个这样的区间； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用导函数值的正负判断出函数的单调区间；
（2）通过导函数研究函数的单调区间和最值，从而证明f（a）＞$\frac{13}{e^2}$；
（3）通过对函数函数y=h（x）的定义域和值域的研究，是否存区间[m，n]⊆（1，+∞），使得x∈[m，n]时，y=h（x）的值域也是[m，n]，即可得到结论．

解答 解：（1）f′（x）=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x，x∈[-2，a]，-2＜a＜1，

x	（-∞，0）	（0，1）	（1，+∞）
f′（x）	+	-	+

由表知道：①-2＜a≤0时，x∈（-2，a），时，f′（x）＞0，
∴函数y=f（x）的单调增区间为（-2，a）；
②0＜a＜1，时，x∈（-2，0）时，f′（x）＞0，x∈（0，a）时，f′（x）＜0，
∴函数y=f（x）的单调增区间为（-2，0），单调减区间为（0，a）；
（2）证明：f（a）=（a²-3a+3）e^a，a＞-2，f′（a）=（a²-a）e^a，=a（a-1）e^a，a＞-2，

a	（-2，0）	（0，1）	（1，+∞）
f′（a）	+	-	+

f（a）的最小值，f（a）_极小值=f（1）=f（1）=e，
∴f（1）-f（-2）=e-$\frac{13}{{e}^{2}}$=$\frac{{e}^{3}-13}{{e}^{2}}$=$\frac{（\frac{5}{2}）-13}{{e}^{2}}$＞0，
∴f（1）＞f（-2），
由表知：a∈[0，+∞）时，f（a）≥f（1）＞f（-2），a∈（-2，0）时，f（a）＞f（-2），
∴a＞-2时，f（a）＞f（-2），即f（a）＞$\frac{13}{{e}^{2}}$；
（3）h（x）=f（x）+（x-2）e^x=（x²-2x+1）e^x，x∈（1，+∞），
∴h′（x）=（x²-1）e^x，x∈（1，+∞），
∴x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，
∴y=h（x）在（1，+∞）上是增函数，
函数y=h（x）存在存区间[m，n]⊆（1，+∞），使得x∈[m，n]时，y=h（x）的值域也是[m，n]?$\left\{\begin{array}{l}{n＞m＞1}\\{h（m）=m}\\{h（\\;n）=n}\end{array}\right.$?关于x的方程h（x）=x在（1，+∞）有两个不相等的实数根，
令H（x）=h（x）-x=（x²-2x+1）e^x-x，x∈（1，+∞），
则H′（x）=（x²-1）e^x-1，x∈（1，+∞），H″（x）=（x²+2x-1）e^x，x∈（1，+∞），
∴x∈（1，+∞），时，H″（x）=（x²+2x-1）e^x＞0，
∴H′（x）在（1，+∞）上是增函数，
H′（1）=-1＜0，H′（2）=3e²-1＞0，且y=H′（x）在[1，2]上连续，
∴?x₀∈（1，2），使得H′（x₀）=0，
∴x∈（1，x₀）时，H′（x）＜0，x∈（x₀，+∞）时，H′（x）＞0，
∴函数y=H（x）在（1，x₀）上是减函数，在（x₀，+∞）上是增函数，
∴H（1）=-1＜0，
∴x∈（1，x₀），H′（x）＜0，
∴函数y=H（x）在（1，+∞）至多有一个零点，即关于x的方程h（x）=x在（1，+∞）至多有一个实数根，
∴函数y=h（x）是不存在这样的区间．

点评 本题考查了导函数与函数的单调性、最值的关系，本题思维难度大，计算量大，属于难题．