【题目】在正方体中,
、
分别为
、
的中点,
,
,如图.
(1)若交平面
于点
,证明:
、
、
三点共线;
(2)线段上是否存在点
,使得平面
平面
,若存在确定
的位置,若不存在说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,且.
【解析】
(1)先得出为平面
与平面
的交线,然后说明点
是平面
与平面
的公共点,即可得出
、
、
三点共线;
(2)设,过点
作
交
于点
,然后证明出平面
平面
,再确定出点
在
上的位置即可.
(1),
平面
,
平面
,所以,点
是平面
和平面
的一个公共点,同理可知,点
也是平面
和平面
的公共点,则平面
和平面
的交线为
,
平面
,
平面
,所以,点
也是平面
和平面
的公共点,由公理三可知,
,因此,
、
、
三点共线;
(2)如下图所示:
设,过点
作
交
于点
,
下面证明平面平面
.
、
分别为
、
的中点,
,
平面
,
平面
,
平面
.
又,
平面
,
平面
,
平面
,
,
、
平面
,因此,平面
平面
.
下面来确定点的位置:
、
分别为
、
的中点,所以,
,且
,则点
为
的中点,
易知,即
,又
,所以,四边形
为平行四边形,
,
四边形
为正方形,且
,则
为
的中点,所以,点
为
的中点,
,
因此,线段上是否存在点
,且
时,平面
平面
.
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【题目】已知点,
为椭圆
:
上异于点A,B的任意一点.
(Ⅰ)求证:直线、
的斜率之积为
-;
(Ⅱ)是否存在过点的直线
与椭圆
交于不同的两点
、
,使得
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知的三个顶点
,
,
,其外接圆为
.对于线段
上的任意一点
,
若在以为圆心的圆上都存在不同的两点
,使得点
是线段
的中点,则
的半径
的取值范围__________.
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【题目】在平面直角坐标系中,长度为3的线段的端点
、
分别在
,
轴上滑动,点
在线段
上,且
,
(1)若点的轨迹为曲线
,求其方程;
(2)过点的直线
与曲线
交于不同两点
、
,
是曲线上不同于
、
的动点,求
面积的最大值.
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【题目】某厂家拟在2020年举行促销活动,经调查测算,某产品的年销售量(即该厂的年产量)万件与年促销费用
万元,满足
(
为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件,已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件,该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2020年该产品的利润(万元)表示为年促销费用
(万元)的函数;
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数)。在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
。
(1)写出曲线,
的普通方程;
(2)过曲线的左焦点且倾斜角为
的直线
交曲线
于
两点,求
。
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【题目】已知函数,有如下性质:如果常数
,那么该函数在
上是减函数,在
上是增函数.
(1)已知,
,利用上述性质,求
的单调区间和值域;
(2)对于(1)中的函数和函数
,若对任意的
,总存在
使得
成立,求实数
的值.
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