Question

【题目】在平面直角坐标系中，长度为3的线段的端点、分别在，轴上滑动，点在线段上，且，

（1）若点的轨迹为曲线，求其方程；

（2）过点的直线与曲线交于不同两点、，是曲线上不同于、的动点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)求轨迹问题可用相关点法得到轨迹方程；

（2）设出直线方程，直曲联立，得到一元二次方程，通过韦达定理表示出面积函数，从而求导求最值即可得到答案.

解：（1）由题知，设，，

有代入得，

所以曲线的方程是

（2）当直线的斜率不存在时，即：，此时

当直线的斜率存在时，设：，，，

联立，有，

由题知过的直线，且与椭圆切于点时，最大，故设:

联立与椭圆方程得，此时

与的距离，所以

化简

设，，有

，所以函数在上单调递减，当时，函数取得最大值，即时，

综上所述