【题目】在多面体中,底面
是梯形,四边形
是正方形,
,
,面
面
,
.
.
(1)求证:平面平面
;
(2)设为线段
上一点,
,试问在线段
上是否存在一点
,使得
平面
,若存在,试指出点
的位置;若不存在,说明理由?
(3)在(2)的条件下,求点到平面
的距离.
【答案】(1)见解析.(2)见解析.(3).
【解析】分析:(1)在梯形中,过点作
作
于
,可得
,所以
,由面
面
,可得出
,利用线面垂直的判定定理得
平面
,进而可得平面
平面
;(2)在线段
上取点
,使得
,连接
,先证明
与
相似,于是得
,由线面平行的判定定理可得结果;(3)点
到平面
的距离就是点
到平面
的距离,设
到平面
的距离为
,利用体积相等可得,
,解得
.
详解:(1)因为面面
,面
面
,
,所以
面
,
.
故四边形是正方形,所以
.
在中,
,∴
.
,
∴,∴
∴
.
因为,
平面
,
平面
.
∴平面
,
平面
,∴平面
平面
.
(2)在线段上存在点
,使得
平面
在线段上取点
,使得
,连接
.
在中,因为
,所以
与
相似,所以
又平面
,
平面
,所以
平面
.
(3)点到平面
的距离就是点
到平面
的距离,设
到平面
的距离为
,利用同角相等可得,
,可得
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某社区为了解居民参加体育锻炼的情况,从该社区随机抽取了18名男性居民和12名女性居民,对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查.现按是否参加体育锻炼将居民分成两类:甲类(不参加体育锻炼)、乙类(参加体育锻炼),结果如下表:
甲类 | 乙类 | |
男性居民 | 3 | 15 |
女性居民 | 6 | 6 |
(Ⅰ)根据上表中的统计数据,完成下面的列联表;
男性居民 | 女性居民 | 总计 | |
不参加体育锻炼 | |||
参加体育锻炼 | |||
总计 |
(Ⅱ)通过计算判断是否有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关?
附:,其中
.
0.10 | 0.05 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某糕点房推出一类新品蛋糕,该蛋糕的成本价为4元,售价为8元.受保质期的影响,当天没有销售完的部分只能销毁.经过长期的调研,统计了一下该新品的日需求量.现将近期一个月(30天)的需求量展示如下:
日需求量x(个) | 20 | 30 | 40 | 50 |
天数 | 5 | 10 | 10 | 5 |
(1)从这30天中任取两天,求两天的日需求量均为40个的概率.
(2)以上表中的频率作为概率,列出日需求量的分布列,并求该月的日需求量
的期望.
(3)根据(2)中的分布列求得当该糕点房一天制作35个该类蛋糕时,对应的利润的期望值为;现有员工建议扩大生产一天45个,求利用利润的期望值判断此建议该不该被采纳.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,长度为3的线段的端点
、
分别在
,
轴上滑动,点
在线段
上,且
,
(1)若点的轨迹为曲线
,求其方程;
(2)过点的直线
与曲线
交于不同两点
、
,
是曲线上不同于
、
的动点,求
面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数)。在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
。
(1)写出曲线,
的普通方程;
(2)过曲线的左焦点且倾斜角为
的直线
交曲线
于
两点,求
。
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知点是圆心为
半径为
的半圆弧上从点
数起的第一个三等分点,点
是圆心为
半径为
的半圆弧的中点,
、
分别是两个半圆的直径,
,直线
与两个半圆所在的平面均垂直,直线
、
共面.
(1)求三棱锥的体积;
(2)求直线与
所成角的余弦值.
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