[题目]已知椭圆的离心率为.其中一个焦点在直线上.(1)求椭圆的方程,(2)若直线与椭圆交于两点.试求三角形面积的最大值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知椭圆的离心率为，其中一个焦点在直线上.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点，试求三角形面积的最大值.

【答案】（1）；（2）1.

【解析】

（1）根据直线与轴的交点，求得的值，再利用离心率求得的值，进而求得的值，得到椭圆的方程；

（2）将直线方程与椭圆方程联立，根据判别式大于零，得到，利用韦达定理得到两根和与两根积，利用弦长公式求得，利用点到直线的距离，求得三角形的高，利用三角形的面积公式，得到关于的式子，利用基本不等式求得最大值.

（1）椭圆的一个焦点即为直线与轴的交点，所以，

又离心率为则,，所以椭圆方程为；

（2）联立若直线与椭圆方程得，令，得设方程的两根为，

则，，，

点到直线的距离，

当且仅当，

即或时取等号，而或满足，

所以三角形面积的最大值为1.

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